SubgoalXL：大语言模型在形式化定理证明中的创新与突破

作者：赵学亮（香港大学博士研究生）

一、引言

形式化定理证明是数学与逻辑领域的重要任务，具有极高的复杂性和精确性要求。
近年来，随着人工智能技术的发展，大语言模型（LLMs）开始尝试解决这一任务。
面临数据稀缺性和多步骤推理的复杂性等挑战，大语言模型在形式化定理证明中的表现并不理想。
针对这些问题，本文提出一种全新的框架：SubgoalXL，结合子目标证明策略与专家学习（expert learning）方法，实现了在形式化定理证明中的性能突破。

二、背景介绍

形式化定理证明面临两大核心挑战：

1. 形式化证明数据的稀缺性：当前数据集有限，难以支持模型在专门的数学和定理证明任务中的高效学习。
2. 多步骤推理的复杂性：形式化定理证明要求模型在多个步骤中保持逻辑严谨性，以生成正确的数学证明。

三、SubgoalXL框架介绍

为了应对上述挑战，SubgoalXL采用了两种关键策略：子目标证明策略和专家学习框架。

1. 子目标证明策略：将证明过程分解为多个子目标，这些子目标构成了解决复杂推理任务的关键步骤。
通过这种分解，SubgoalXL在更接近形式化证明的逻辑框架下进行推理，使得生成的证明过程更加清晰有序。
该策略有效地缓解了因非形式化与形式化证明之间的不一致性导致的学习瓶颈，增强了模型在形式化环境中的表现。

2. 专家学习框架：通过一个由形式化陈述生成器、子目标生成器和形式化证明生成器组成的迭代优化框架，SubgoalXL能够在每个迭代过程中从经验数据中学习，调整各个组件的参数，使得模型在多步骤推理中的准确性和有效性不断提升。
该框架利用概率建模和梯度估计技术，确保在每个迭代中从最优分布中采样数据，最大化模型的学习效率和推理能力。

四、方法概述

SubgoalXL的方法核心在于子目标证明策略和专家学习框架的结合。具体方法如下：

1. 子目标证明策略：首先手动创建一组用于上下文学习的演示示例，然后使用这些示例指导模型生成子目标证明训练数据。
我们从miniF2F-valid中选择了部分问题，并手动构建了每个问题的已验证形式化证明，作为初始输入。
通过GPT-4o生成子目标证明，该过程确保了生成的证明风格一致，降低了模型的学习负担。

2. 专家学习框架：该框架由三个核心模块组成。
在每个迭代过程中，SubgoalXL根据先前生成的陈述和证明样本进行参数优化。
使用概率建模和梯度估计技术，对各模块进行迭代优化，以从最佳分布中采样数据。
这种方法确保了模型在处理新的证明任务时能够保持高精度和稳健性。

五、实验结果与分析

我们在标准miniF2F数据集上对SubgoalXL进行了全面的评估，结果表明其在Isabelle环境下达到了新的最优性能。
SubgoalXL在miniF2F-valid数据集上的通过率达到了XX%，在miniF2F-test数据集上达到了XX%。
这一表现超过了多种现有的基线方法，包括Thor、DSP、Subgoal-Prover、LEGO-Prover以及Lyra等。

在逐步迭代的过程中，SubgoalXL表现出明显的性能增长。
模型在miniF2F-valid和miniF2F-test数据集上的通过率均实现了显著的提升。
这些结果表明，通过逐步优化和专家学习框架的迭代，模型在每次迭代中都能实现稳定的性能提升。

实验显示SubgoalXL使用的子目标证明方法在处理复杂证明任务时表现优于人类编写的非形式化证明。
尤其在复杂问题上，子目标证明策略显著提高了证明的精确性和可靠性。

六、结论与未来展望

SubgoalXL的成功展示了大语言模型在形式化定理证明任务中的巨大潜力。
通过结合子目标证明策略和专家学习框架，SubgoalXL实现了在形式化定理证明中的性能突破。
我们相信，通过进一步优化框架、拓展数据集和应用场景，大语言模型将在数学和科学领域带来更深远的影响。
未来的研究方向包括提高模型的泛化能力、拓展应用到更多的数学领域以及提升模型的解释性等方面。
我们期待SubgoalXL能够为人工智能与数学领域的融合研究开辟新的道路。

标签： 定理、 isabelle、

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